Cálculo Actuarial

Definiciones

Riesgo: Existencia de una eventualidad que no se puede prevenir.
Interés asegurable: objeto o persona que puede estar expuesto a determinados riesgos.
Prima: La contraprestación que el asegurado debe cubrir a la compañía aseguradora para que tenga cobertura del riesgo asegurado.
Asegurado: Persona que aparece en la póliza como interesado en el riesgo garantizado.
Póliza: Documento donde están los derechos y obligaciones de la parte contratante y demás para su validez.
Siniestro: La eventualidad ocurrida.
Importe de reclamación: lo que se paga al momento del siniestro.
Dotal: Si un asegurado sobrevive por un determinado tiempo le paga el seguro una cantidad.

Seguros: Sistema que permite preveer las consecuencias económicas de un riesgo que puede sufrir el interés asegurable que naturalmente es de preocupación para el asegurado.

x año
lx Numero de personas vivas en el año x
dx Numero de muertes en el año x
qx Probabilidad de que una persona de edad x muera a edad x + 1
px Probabilidad de que una persona de edad x viva a la edad x+1
Lx edad exacta


Mx Fuerza de mortalidad o Tasa de mortalidad; mide la variación instantánea de la mortalidad, es decir, es la tasa anual de la mortalidad, basado en que la intensidad de la mortalidad permanecerá igual en todo momento durante el año x a x+1. Es la medida de mortalidad al alcanzar precisamente la edad x.




Formula Básicas

dx = lx – lx+1
qx= dx/lx= 1-px
Lx=( lx + lx+1) /2
px = 1-qx = lx+1 / lx
npx= lx+n/ lx
n/qx=dx+n / lx
nqx=( lx-lx+n ) / lx
Mx=(lx-1 – lx+1) / 2lx = dx/ Lx = 2(1-Px)/(1+Px)
n/mqx=(lx+n –lx+n+m) / lx

W es cuando ya no hay gente de esta observación.

Seguro dotal Puro nEx

Es la prima neta única a edad x para un seguro dotal de una persona a edad n, y representa el pago único que deberá hacer a cambio de recibir un pago por cierta cantidad al final de n años si esta persona esta viva.

Anualidades Contingentes

Las anualidades continuas son el promedio del año x y el año x+1

Ejemplos:

1.- PNU de un seguro dotal puro de 2000 durante 15 años para una persona de edad 25.

X=25
N=15 nEx = 15E25= D40/ D25

2.- PNU de 1 anualidad vitalicia de 1000 anuales para una persona de edad 30

X=30 ax = Nx / Dx = 1000*N30/D30

Seguro pagadero al final del año de fallecimiento

El VP de la prima neta a edad x para dicho seguro suponiendo una suma asegurada de 1 y un periodo de n años es:

Ejemplo:

1 persona de 30 años quiere tener un seguro con un pago de 1000 durante los próximos 10 años y de 2000 en adelante. Cual es el VP de dicho beneficio.

a) Ax:n + Ax = 1000* Ax::n + 2000* Ax+n
b) 1000*(n/Ax+ Ax) = 1000* n/Ax + 1000* Ax

Seguro pagadero al momento de fallecimiento

Estos seguros se calculan bajo las mismas formulas que al final del año de fallecimiento, con la diferencia que las variables Mx, Ax, Ex, se multiplican por el interés; es decir:

Ãx = 1+i/2 *Ax

Ejemplos:

1.- Una persona de edad 40 desea tener en el momento de cumplir 65 años un capital de 500,000 que necesita actualmente para tener ese capital? Considera una tasa de interés del 15%, lx de 40= 9426360 y lx de 65 = 7060498

x=40, n=25, c=500,000
C=500,000 * D65/D40 = 500,000* V65l65/ V40l40
V65=.0001134 ; V40=.003733

C= 11,134

2.- Una persona de 40 años, tiene un fondo de 500,000 que cantidad tendrá al final de 35 años si se considera una tasa de interés de 30%.

X= 40
N=35 35E40

C= 1/35E40 *500,000 = 500,000* D40/D75 = ((1.3-40*l40) / (1.3-75*l75))500,000

Anualidades Pagaderas M veces al año (vencidas = anticipadas)

Ejemplos:
1.-Encuentre el VP de una anualidad que proporciona a una persona de 50 años una renta de 500 al fin de cada trimestre de cada año.

X=50, c = 500, m=4
a50^(4) = a50 + (4-1)/8 = ((N51/D50) + 3/8)*500


2.-Formula de la PNU de una anualidad de 1000 mensuales para una persona de 30 cuyo primer pago se hará al momento de cumplir 40 y pagadera durante los próximos 10 años.
X=30; n=10; t=10; m=12; c/m=1000; c=12,000
10/10a30^(12) = 10/10a30 + ((12-1)/24) *(10E30- 20E30) = 12,000*{((N40/D30)+ (11/24*(D40/D30)) – ((N50/D30) +11/24*D50/D30)}

Prima Neta Nivelada

Px= Ax/ax = Mx / Nx

Ejemplo:

Calcule la prima neta anual para una persona de 30 años que desea comprar un seguro ordinario de vida por 10,000

C=10,000; x= 30 entonces P30 = (M30 / N30)*10,000

Seguro de vida entera limitado t años

tPx = Ax /ä x:t = Mx / (Nx - Nx+t)

Ejemplo:

Hallar la PN Anual de un seguro de vida pagos limitados a 20 años de 10,000 para una persona de 25 años.

X=25, C= 10,000, t= 20

[M25/ (N25-N45)]*10,000 = 10,000 * 20P25

Seguro dotal a n años

Px:n = Ax:n /ä x::n = (Mx –Mx+n + Dx+n) / (Nx - Nx+n)

Pagos Limitados:

tPx:n = Ax:n /ä x:t = (Mx –Mx+n + Dx+n) / (Nx - Nx+t)

Ejemplo:

Hallar la PN anual de un seguro dotal a 15 años de 2000 para una persona de 35 años.
X=35; c=2000; n=15

P35:15 = [(M35 –M50 + D50) / (N35 – N50)] * 2000

Seguro temporal a n años y pagos limitados a t años

Pẋ:n = Aẋ:n /ä x:t = (Mx –Mx+n ) / (Nx - Nx+t)
tPẋ:n = (Mx –Mx+t ) / (Nx - Nx+t)


Ejemplo:
Hallar la prima neta anual pagadera durante 10 años de un seguro temporal a 20 años de 5000 para una persona de 25 años.

X=25; C=5000; t=10; n=25;
5000 *(M25-M45)/ (N25-N35)

Seguro Dotal a Puro

Px:ṅ=(Dx+n) / (Nx – Nx+n)

Pagos limitados a t años

tPx:ṅ=(Dx+n) / (Nx – Nx+t)

Un seguro que provee el pago de K suma asegurada si la muerte ocurre en un periodo determinado es un seguro temporal

Donde: Ax:n =(Mx – Mx+n)/ Dx; Mx = Σt=0 Cx+t; Cx = Vx+tdx

Ejemplos:

1.-Hallar la PN de un seguro temporal a 10 años de 1000 para una persona de 20 años.

X=20; n=10; c=1000
1000* ((M20 – M30)/ D20)

2.- Hallar la PN que cubre a una persona durante los próximos 15 años a una persona de edad 40 y el seguro es por 10,000. ( o que quiere asegurarse por los próximos 15 años)

X=40; C=10,000; T=15
10,000* ((M40 – M55)/ D40)

3.-Hallar la PNU de un seguro de vida entera pagadero al momento de fallecimiento por 200,000 para una persona de 40 años suponiendo una tasa de interés de 4.5%

I=4.5%; c= 200,000 x= 40
200,000 *( (1+.045/2)*(M40/N40))

Reserva

El asegurador se compromete a pagar un beneficio a cambio de que el asegurado pague la prima correspondiente ya sea en una solo exhibición o mediante una serie de pagos llamados prima neta nivelada.

Se parte siempre de la suposición de que al inicio, el valor presente de los beneficios debe de ser igual al valor presente de las primas. Sin embargo, cuando el asegurado compra un seguro o una anualidad por medio de PNN esta igualdad no se mantiene através de la duración del contrato.
La diferencia entre estos valores se conoce como la Reserva de la PNN

La reserva se puede definir como el excedente del valor presente de los beneficios sobre el valor presente de las primas netas.

Existen 2 métodos principales para calcular las reservas de una póliza de seguros al final del cualquier año posterior a la fecha de emisión.

A) Método Prospectivo: Este método consiste en determinar el excedente del VP a edad x+t del seguro que x recibirá en el futuro sobre el valor presente a esa edad de las primas que pagara en el futuro.

tVx = Ax+t - Px äx+t = Mx+t/Dx+t - Mx/Nx * Nx+t / Dx+t = {Mx+t – Px(Nx+t)}/ Dx+t

B) Método Retrospectivo: Este método consiste en determinar al momento t el excedente en el valor de las primas ya pagadas sobre el valor del seguro ya suministrado.

ntVx = {Px*( Nx+t – Nx+n) – (Mx+t – Mx+n)} / Dx+t

(Mx – Mx+t) / Dx+t = tKx = Costo Acumulado del Seguro.

Valor acumulado de las primas pagadas durante los primeros años= {Px(Nx-Nx+t)}/Dx+t