Proceso Estocástico

Un Proceso estocástico es una familia x – {x (t), t elemento de T} de variables aleatorias. Donde X (t) es una variable aleatoria definida sobre un espacio de probabilidad definido.

X( , ) t fijo x(t, ) es una variable aleatoria.
Si w es fijo, x( , w) es una función de t elemento de T llamada una realización o trayectoria del proceso.

Espacio de estados del proceso es el conjunto de todos los posibles valores que puede tomar la variables x(t) para toda t elemento de T.

S espacio de de estados del proceso. Donde cada punto en S en conocido como estado del proceso.

S es finito entonces el proceso es discreto.
S es un intervalo, entonces el proceso es continuo.
S son los valores que toma la variable aleatoria.

Si T es numerable X es un proceso con parámetros o tiempo discreto
SI T es un intervalo ( a,b), decimos que es un proceso con parámetros o tiempo continuo.

Si X={x(t) t E T} es discreto, entonces, T( 0,1,2,3,…) escribimos a X(t) como Xt lo cual es una sucesión de variables aleatorias.

Entonces, una serie de tiempo es la sucesión de observaciones generadas por un proceso estocástico cuyo conjunto de índices se toma en relación al tiempo. Hay series de tiempo estacionarias, es decir, que en cualquier momento que se observe, se tiene el mismo valor.

Sea N(t) el numero de clientes en un sistema de espera, entonces N(t) es un proceso en tiempo continuo (tiempo de espera) con espacio de estados discretos (numero de clientes que llegan a un sistema de espera)

Un proceso de conteo es un proceso N(t) t>0 con espacio de estados S=(0,1,2,3…) tal que para cada t>0 N(t) cuenta el numero de veces que ha ocurrido un cierto evento E durante el intervalo ( 0,E).

Es un proceso de conteo si satisface lo siguiente:
N(0) = 0
N(t) solo toma valores enteros no negativos
N(t) es no decreciente o sea N(s) <=N(t) t>=s
N(t) –N(s) es el numero de veces que el evento ocurrió en el intervalo ( s,t)

X proceso estocástico, X proceso de incrementos independientes si 0proceso con incrementos estacionarios si la distribución del incremento x(t+h)-x(t) depende solo de h, es decir; x(t+h)-x(t) es similar a x(T+h)-x(T) para toda T,t,h >0

Proceso Autorregresivos Xt=φXt-1 + ε

Para conocer el estado futuro dependo de lo que esta sucediendo en el estado actual.

Proceso de Markov es un proceso estocástico donde las distribuciones no dependen del pasado, solo del pasado inmediato o del presente, es decir, para calcular lo que pasa en n+1 solo necesito saber lo que paso en n.

Es un proceso de Markov si y solo si para cualquier entero n, y tiempo t1


Cadena de Markov en tiempo discreto sean S y T conjuntos numerables S=(xo, x1, ..xn) y T=(to,t1,t2,…tn) entonces x=[x(t), t e T] x=[xn, n=1,2,3…n] si
P[xn+1=J/xo=io,…xn-1=in-1,xn=i]= P{Xn+1=J/xn=i} para todo n y todos los estados de io,i1,…in-1,i,j

Ejemplos: problemas de inventarios, procesos autorregresivos.

Probabilidades de transición es la probabilidad de una variable pase de un estado a otro.

Para una cadena de Markov en tiempo discreto Xn, la probabilidad de que xn+1 este en el estado j dado que xn esta en el estado i se le llama la probabilidad de transición en un paso.




La matriz depende de la distribución de las probabilidades.

Si el espacio de estados de la cadena es finito (K) entonces la matriz P tiene un numero finito de columnas y renglones (K x K)

Las probabilidades de transición satisfacen las siguientes características:
Pij > 0 para toda i y j
ΣPij =1

Si el proceso llega a un estado donde la probabilidad Pij=1 el proceso ya no se mueve y a este lo llamamos un proceso absorbente.

Una cadena de Markov esta bien definida si conozco su estado inicial y su distribución.
Generalmente el proceso va de un estado a otro en una sucesión de pasos:

Pn=Pij(n) en donde Pij(n)= P{Xn=j/Xo=i}=P{Xn+m=j/ Xm=i} para toda m>0 ir del estado i en t=m al estado j en n pasos ya no es homogéneo ya depende de n.

Las probabilidades de transición de una cadena de Markov en n pasos satisface que:




Si pi=qi=P entonces ri=1-2P para toda i 1>…..j P>0

Se dice entonces que Xn es una caminata aleatoria simétrica

Si pi=qi y ri =0 (no se puede quedar en el mismo estado) entonces qi=pi= ½ se dice que Xn es una caminata aleatoria simple



Ejemplo:

En cualquier día Pedro puede estar Feliz (f), deprimido (d) o ninguno de los dos (I).
Si hoy esta Feliz mañana estará f, d, i con probabilidad de .5,.4, .1; si pedro esta d, entonces estará mañana f, d, i, con probabilidad de .3, .4, .3 y si hoy esta indiferente, entonces mañana estará f, d ,i con probabilidad de .2, .3, .5

La Matriz es:



donde la diagonal es la probabilidad de que se quede en el mismo estado.

Cadena de Markov Irreducible

Sean i y j estados de una cadena de Markov Xn, decimos que j es alcanzable desde el estado i si Pij^(n)>0 para alguna n>0; es decir se puede ir del estado i al estado j en algún numero finito de n pasos. Y se escribe i -> j; si también i es alcanzable desde j entonces decimos que i y j son estados comunicantes.( i<->j)

i<->j es una relación de equivalencia:

Reflexiva i<->i
Simétrica i<->j si y solo si j<->i
Transitiva i<->j entonces j<->k entonces i<->k

El espacio de estados S de la cadena se puede particionar en clases de equivalencia o sea subconjuntos c1, c2,… donde la intersección de 2 subconjuntos es distinta del vacío y la unión de todos los ci es igual a S

Conociendo las clases de equivalencia se conocen las rutas que siguen el proceso. 2 estados comunicantes pertenecen a la misma clase. Si S tiene un solo subconjunto entonces el proceso visita todos los estados.

Periodo: va a un estado y regresa al mismo lugar en el mismo número de pasos.

Recurrencia: sale del estado inicial llega al estado j en k pasos, sale de el, y vuelve al estado inicial en + numero de pasos.

Sean i y j estados de una cadena de Markov Xn; Definimos fij^(n) como la probabilidad de que empezando en xo=i, visita el estado j en el n paso.

Es decir:

fij^(n)=P{xn=j/ xk es distinto de j k=1…n-1 xo=i}

fij^(1)=Pij y fij(0)=0

Se puede ver que la probabilidad de ir de i a j en n pasos satisface:




Pjj^(n) Probabilidad de xn=j dado que xo=j
Pij^(n) es ir de i a j en n pasos aunque se pudo haber visitado j antes
Fij^(n) es ir de i a j en n pasos sin haber visitado j antes.


Diremos que i es en estado recurrente si fii=1; y que i es transitorio si fii<1 onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj_OUWc-a8X_fK8z3kYH5OFCMHKV2zfi88mAQyT9FS3pWGLNx78n093rM2dsQZAIk5Fov7lwCdmco5OZuwoCkR8JYZQbsCrUeHurpzI1DPzpGpVMmLSu5_R1eZrd8Gqml2WWRk37HNq7EJW/s1600-h/Dibujo.jpg">



Una cadena de Markov que consta de una y solo una clase comunicante se le llama cadena irreducible, equivalentemente la cadena es irreducible si cualquier par de estados son comunicantes.

Periodicidad: el periodo d(i) de un estado i como el máximo común divisor de todos los enteros n>=1 para los cuales Pij^(n)>0 probabilidad de que regrese al edo.

Si Pij^(n)=0 para todo n>=1 d(i)=0
Si d(i)>0 i es un estado periódico con periodo d(i) mientras que si el periodo d(i) =1 decimos que i es un estado aperiódico (llega una vez y no vuelve a regresar)

2 estados están en la misma clase de equivalencia si y solo si i y j son comunicantes.
Un estado i es absorbente si y solo si Pii=1 por lo tanto Pij=0

Ejemplo:




El estado 1 es absorbente, el estado 2 puede quedarse en 2 o pasar al estado 1, el estado tres puede ir al estado 1 quedarse igual o pasar el estado 4, y el estado 4 puede pasar a todos los estados.

Entonces: C1= 1 y es absorbente
C2 =2 C3 =3,4

Si i es recurrente y i<->j entonces j es recurrente.

Si un proceso regresa un número infinito de veces al estado i, entonces, que regrese a j en un número infinito de veces pues son recurrentes, entonces regresa a i con probabilidad de 1 y entonces regresa a j con probabilidad de 1.

Nota: El patrón de comportamiento de regresar a i no es el mismo patrón de ir a j.

Si j es un estado transitorio, el número esperado de transiciones de i a j para cualquier estado inicial xo =i es finito, esto es:



Para toda i

Cuando n tiende a infinito, el proceso deja de visitar a j y entonces se dice que j esta en estado transitorio.

Ejemplos:
Periódicos: lluvias en algunos estados
Recurrentes: huracanes, fenómeno del niño, ventas de productos.


Mij tomara los valores de:

a) Infinito si j es transitorio o


b) Si j es recurrente Mjj=


Se llama tiempo medio de recurrencia de i y representa el tiempo de retorno al estado j (tiempo de regreso a j)

Si se quiere estimar el periodo de un estado recurrente se haría con el promedio.

nfjj es un promedio ponderado

Si i <-->j entonces lim 1/n ΣPij = 1/ Mjj

Lim Pij^(n) = 1/Mjj si j es aperiódico

J es Periodico con periodo d si : el limite cuando n tiende infinito:

Lim Pij^(d)= d/Mjj


Si j es un estado recurrente decimos que j es recurrente positivo si Mjj< mjj =" infinito." d="d(j)">=1 es el periodo de j entonces:

Πj= lim Pij(n,d)=d/Mjj

Entonces j es recurrente positivo si Πj >0 y recurrente nulo si Πj =0

Un estado aperiódico y recurrente positivo se dice que es ergodico ( o sea si el proceso vista el estado una vez y no regresa en el mismo periodo y el tiempo promedio de vista es infinito.

Recurrente: vista el edo y tiene probabilidad >0 de volver a visitarlo en k pasos.
Periódico: vista el proceso en el mimo numero de pasos.



La distribución Poisson





Proceso de Poisson x= {N(t); t>0} es un proceso de poisson con intensidad media λ con λ>0 si:

a)X tiene incrementos independientes es decir, 0<,,,tn satisface que la variable aleatoria x(t1)-x(to) , x(t2)-x(t1) son independientes. b)Tiene incrementos estacionales tales que: x(t+h)-x(t) ~P(λh) λ>0
o sea x(t+h)-x(t) tiene una distribución Poisson con parámetro λh
Con esperanza (media) λh, y varianza λh

Ejemplo:
El numero de personas que llegan a una tienda sigue un proceso Poisson con media λ=4 (personas por hora) dado que la tienda abre a las 9 am , cual es la probabilidad de que exactamente un cliente haya llegado a las 9:30 y de que un total de 5 clientes hayan llegado a las 11:30?

El proceso empieza a las 9
P={N(1/2)=1, N(5/2)=5} ( el primero cuenta la primera parte y el segundo la segunda parte)

Como son independientes:
P(N(1/2)=1 * P(N(5/2)-N(1/2)=4)

Entonces esto es igual a Poisson λ=4 y n=1 * n=4 = 0.1549

Cuando λ es variable sea tn del tiempo son procesos de Poisson no homogéneos.

Los eventos ocurren aleatoriamente en el tiempo y sea N(t) el numero de eventos que ocurren en el intervalo de tiempo (0,t) se dice que el proceso estocástico {N(t) t>0} es un proceso de Poisson de intensidad λ si:

1.- N(0)=0
2.,-N(t) tiene incrementos independientes y estacionarios
3.-P{N(h)=1}= λh+O(h)
4.-P{N(h)>=2}=O(h)

Ejemplo:

El numero de vehículos que pasan por cierta intersección en el intervalo de tiempo (0,t) sigue un proceso Poisson con E(N(t))=3t en donde la unidad de tiempo son minutos.

a) Encontrar la probabilidad de que al menos 2 vehículos pasen durante cualquier minuto.
b) Sea A) que al menos 4 vehículos pasan durante el primer minuto y B) a lo mas 2 vehículos pasan durante el 2do minuto, encuentre la probabilidad de que ambos eventos (A y B ocurran)

a)Es un proceso estacionario de distribución que conozco.
P{N(t)>2}=1-P(N(t)<2 h="1" 3=".80">=4}=1-(P=0+P=1+P=2+P=3) λ=3 h=1
B) P{N(2)<=2}= P(N(2)=0+P(N(2)=1+P(N(2)=2) λ=3 h=1 Sean T1, T2, T3….Tk variables aleatorias independientes exponencialmente con media 1/λ Pero quiero la distribución del tiempo acumulado, por lo tanto: T=ΣTi k>=1 ; y T se distribuye como una funcion Gama (1/λ,k)

Proceso de Poisson no-homogéneo

Si λ ya no es una constante, es decir ya no es un proceso estacionario, λ es una función del tiempo y varia en el intervalo en el que sucede el proceso.

En el intervalo (s,t) X(t)-X(s) es el numero de eventos que ocurrieron en el intervalo X es un proceso de poisson ( Conteo)

Ahora como ya no es estacionario λ se encuentra como:







X(t)-X(s) se distribuye como un proceso Poisson pero con parámetro QQ pues λ es dependiente del tiempo.

Ejemplo:

La demanda de primeros auxilios en un determinado lugar ocurre de acuerdo con un proceso poisson no homogéneo con la siguiente función de intensidad.

λ(t)= 2t si 0<=t<=1 ; 2 si t esta entre 1 y 2 ; y 4-t si t esta entre 2 y 4. Donde t es media en horas a partir del momento que abre el puesto de auxilios. Cual es la probabilidad de que ocurran 2 demandas de auxilio en las 2 primeras horas y 2 en las segundas 2 horas. Son independientes P(1er)*P(2do) Entonces para las 2 primeras horas: Mx=∫1 02t dt +∫2 12dt= 1+2=3 P(N(2)=2 = e-332/2!= .2240 Para las segundas 2 horas: Mx=∫1 4-t dt =4(4-2)-4(42-22)=2 P(N(4)-N(2)=2)=P(N(2)=2)= e-222/2!=.2706 Sean Wt el tiempo en el cual se vista el estado N(t), entonces Sn=Wn+1-Wn es el tiempo de permanencia.

Sn cuenta el tiempo que el estuvo constante el proceso. So no cuenta con nada; S1 cuenta 1 evento.


EL tiempo de espera Wn tiene una distribución gama cuya función de densidad es:

Fwn(t)=





Procesos Continuos

Proceso de Winey o Movimientos Browniano

X={x(t),t>=0} es un proceso de Winey si:
a) x(0)=0
b) x(t) tiene incrementos independientes estacionarios con x(t+h)-x(t) ~N(0,σ2h)

Si σ2=1 decimos que x es un proceso de Winey estándar y nos referimos a el como
{B(t); t>=0}~N(0,h)

Si el proceso no es estándar entonces se estandariza.

Variaciones del Proceso Browniano

Movimiento Browniano con tendencias

Decimos que x(t) es un movimiento browniano con tendencias en el coeficiente µ y parámetro de varianza σ2 si:

X(0)=0
X(t) , t>=0 tiene incrementos independientes y estacionarios
X(t) se distribuye como una normal con media µ y varianza σ2t

La variación no es estacionaria, sino que cambia con el tiempo.

Movimiento Browniano Geométrico

Si {u(t), t>=0} es un movimiento browniano con tendencia entonces el proceso x(t)>=0 definido por: x(t)=ey(t) se llama movimiento browniano geometrico.

Se dice que el proceso estocastico X(t) es débilmente estacionario si:
Var (xt) =σt < infinito par toda t ; µt=µ para toda t ; cov(x(t) x(s)= cov(x(t+n) x(s+n) para toda s, t, n.

Si es estrictamente estacionario entonces débilmente estacionario entonces tiene la misma distribución entonces tienen la misma media y varianza finita.

Análisis de Regresión

Hipótesis:
El modelo es lineal en los parámetros
εi son independientes i=1..n y se distribuye N(0,σ2)
Y es una variable aleatoria pues Bo, B1,….X son constantes
εi, y εj no son correlacionados, o sea son distintos.

Yi=Bo+BiXi + εi
E(Yi)= Bo+BiXi
Residuales: ei=yi-ŷi y Σei=0

Método de Mínimos Cuadrados





Teorema Gauss Markov: En el modelo de regresión simple, los estimadores Bo y B1 por mínimos cuadrados son los mejores estimadores lineales insesgados (pues son los de varianza minima)



r^2 que tanto explica el modelo en sus estimadores con respecto a su variable total entre más grande la proporción, mejor.



Prueba de Hipótesis

Ho: B1=0 rechazo la hipótesis, entonces tiene sentido la regresión.
Hc: B1 es distinto de 0

IDO

Minimización de Costos y Rutas

XBi=solución básica factible tiene m variables >= 0 y las demás = 0
XBi=es la solución básica factible degenerada si m variables >=0 y al menos una es cero.


Tabla de Minimización



g=C1X1+…+CnXn
SA
A11x1+…+A1nxn<=B1 A21x1+…+A2nxn<=B2 Am1x1+…+Amnxn<=Bn xi>=0 para todas las i

Ejemplo;

Una fábrica tiene plantas en DF, MTY, GDL, VER y TIJ, por otro lado la compañía de empaques tiene plantas en PUE, CEL, DGO, se necesita enviar los empaques a la cia para cumplir con la demanda mensual que se tiene, la cual es:
DF 2000, MTY 400, GDL 500, VER 100, TIJ 200; y la producción minima de empaques es PUE 100, DGO1500, CEL 100; los costos que hay que cubrir estan en la siguiente tabla:


Problema balanceado:

Oferta = Demanda; si o>d, entonces, aumento 1 ficticio que cubre esa demanda, si oMétodo del Costo Mínimo

Ejemplo: se tienen 4 plantas y 3 centros de distribución y hay distintos costos de transportación de las plantas a los centros de distribución, los cuales están en la siguiente tabla en miles de libras



En este método se selecciona la celda con menor costo de todas y se le da el máximo entre la oferta y la demanda; en este caso celda X12 que es igual a 2 se le da el valor de 15, como se cubre la oferta entonces todos los demás valores de ese renglón y esa columna se hacen cero, de ahí se busca el siguiente valor mínimo y se le da el máximo de dem y oferta. X31 valor de 4 y el máximo valor que puede tomar es 10-5 el cual es 5; por lo cual se cancela esa columna pero no el renglón pues todavía no se cubre la oferta.
La siguiente que se toma es la X23 valor 9 la cual toma el valor de 15, se cancela esa columna y luego se toma la X34 18 la cual se toma 5 pues ya se habían tomado 5 de ahí, y finalmente se toma la X24 20 y toma el valor de lo que falta 10.

Por lo tanto el resultado mínimo es:
Z=2*15 + 4*5 + 9*15 + 18*5 + 20*10 = 475


Floyd determinación de la ruta mas corta


Encontrar la ruta mas corta entre cada 2 nodos, distancia esta en millas
arco (3,5) esta desconectado, es decir no existe trafico entre 5 y 3
todos los demas van a ambos lados.


De aquí te toman los valores inf y se cambian por los valores de mínimo, ejemplo, para pasar de 2 a 3 se puede pasar por 1 o por 4 y la menor distancia es hacerlo por 4 entonces la posición inf en matriz Do X23 la cambiamos por la suma de 5+6 ( la distancia de ir de 2 a 3 via 4, y el la matriz So cambiamos X23 que es 3 por 4.
Y asi sucesivamente hasta eliminar todos los inf. Y asi encontramos la mejor forma de ir a casa 2 nodos.

Economía Matemática

Modelo Neoliberalismo: Optimización de recursos y distribución de bienes, administración de fondos para el retiro

Si una matriz es triangular superior, entonces, todos los valores arriba de la diagonal son > o iguales a cero.

Si A y B son 2 matrices triangulares superiores, entonces, A+B es una matriz diagonal superior.

Una matriz es no singular si rango de la matriz es distinto de m m dimensiones de la matriz.

Si el determinante de la matriz A es distinto de 0 , entonces la matriz A tiene matriz inversa.

Modelo Keynes se necesita la intervención del estado en la economía.

Modelo Insumo Producto (Leontief)

Ecuaciones de balance Físico.
Hipótesis: la economía se compone de n factores, cada sector produce solo 1 mercancía, no hay producción conjunta, y hay una forma física de medir la producción de cada mercancía (tons, mts, m2, etc.)

xi es la producción total de la mercancía i
xi>=0 producción total del bien medido en las unidades que se mide ese producto.

Modelo Lineal

X11+X12+…X1n+d1
.
.
Xn1+Xn2+…Xnn+dn


Donde Xij es la fracción de la producción total de la mercancía i que se le vende al sector j. y estas Xij > = 0 para todas las i,j

Ahora, tenemos el siguiente sistema:

X1=x11x1/x1 + x12x2/x2… + x1mxm/xm +d1
.
.
Xm=xm1x1/x1 + … + xmmxm/xm +dm

aij =xij/xj; aij >=0

aij= mercancía i (cantidad que se vende a j sector) / Producción total del bien j

Y es la cantidad de mercancía i para la producción de una unidad de la mercancía j
Hipótesis: Suponemos linealidad en el modelo I-P (insumo – producto)

aij =xij/xj son constantes.

Este modelo es conocido también como el modelo estático de Leontief

Y tenemos:

X1=a11X1+a12x2+…a1mXm+d1
.
.
Xm=am1X1+am2x2+…ammxm+dm



X=AX + D

D= Vector de demanda final
Ax vector de demanda intermedia (lo que insumen los m sectores que componen la economía para poder realizar la producción.
X=Vector de producción total
A es la matriz insumo producto o tecnológica o de coeficientes técnicos.


Sea A matriz de nxn se dice que 1 vector distinto de 0 es un EIGEN VECTOR O VECTOR PROPIO de A si x es un multiplo escalar de de Ax

Ax=λx para algun λi denominada Eigen valor o valor propio.

Entonces: Ax=λIx , por lo tanto: (λI-A)X=0

Para que λ sea un Eigen valor debe haber una solución distinta de cero, de esa ecuación, sin embargo por un resultado de Algebra lineal se tiene una solución distinta del vector 0 de la ecuación, si y solo si el determinante de λI-A es igual a cero. Lo que se conoce como la ecuación característica de A.

La Matriz A es >=0 esta matriz es lo que ocurre en la economía (foto estado de la economía) el significado económico de los renglones son las ventas de la mercancía i que se hacen a los demás sectores. Las columnas significan las compras del sector i a todos los demás para producir su producto.

X=AX+D Es la ecuación de balance físico.

La matriz no esta expresada en dinero, a menos que se separe el valor de las mercancías y también de las tecnologías para lograrlo.

Entonces:


A nos indica la cantidad que un sector necesita para producir un articulo con respecto a otro sector.

Demanda final es la cantidad que necesita cada uno de los sectores para producir sus bienes.
Demanda intermedia es lo que demandan las empresas.
Producción total es el total de producción de cada sector.

Si A es una matriz de consumo, A es productiva si y solo si Lambda<1>

Transacciones internas TI suma de xij por renglones.
Producción total =X
Demanda es X-TI

Ecuación de equilibrio constante: ΣEi=ΣFi (compras=ventas)
Ti=Ei+Di=Σxij+Di

Análisis de columnas: Fj=ΣXij sobre las j’s igual a las sumas del sector
Xj valor de la producción bruta
Vj=Xj-Fj valor agregado
Hj= valor de las importaciones de la rama j

Ei+Di=Hi+Xi
Ei es la demanda intermedia
Di es la demanda final

Hipótesis: Las cantidades están expresadas en unidades monetarias

X=(a1….am) vector formado por las cantidades de la mercancías 1,2,…m
P=(p1,…pm) pi, Precio unitario de la mercancía i-esima

P*X= ΣPiXi valor total de la producción (bruta) en un periodo de tiempo
Po*Xo= valor total de la producción en el año de base o


Indicador de Valor, P*X = ΣPiXi valor total de la producción a 1 año determinado.

Po<P1 entonces P1X1>PoXo

Si en un cambio hay una variación en el nivel de producción y los precios se mantienen constantes. No se pueden comparar precios y volúmenes de producción de un año a otro.

Producto Neto lo que quito y lo que invertiste X-AX

Si suponemos que el volumen de producción se mantiene constante entonces defino el Índice General de Precios

Ip= P1X1/PoX1

Si suponemos que los precios no cambian, entonces es Índice de volumen

Ivol=PoX1/PoXo
Relación entre los índices:

Ival=Ip*Ivol

Consumo---utilidad
Produc------ganancias


Macro: En conjunto, movimiento, precio, empleo.

Neoclásico

Microeconomía: Parte de los agentes que participan. La economía esta formada por muchos agentes económicos.

Agentes Fundamentales son: Consumidores y las empresas (familias son el motor de la economía)

Familias son las unidades de consumo, las familias buscan satisfacción, tienen recursos limitados, y buscan maximizar sus ingresos.

Unidad de producción es la empresa y esta busca las ganancias o beneficios

Sistema Competitivo

m mercancías, N comerciantes
Una función de utilidad es:

Uix= Σaikln(xi) x >0 , si es menor o igual a cero la función de utilidad es cero.
wi el vector de recursos iniciales del comerciante i

Ii=ΣPiWji suma sobre las i y es igual al dinero que tiene i precio w que llega al mercado.

Optimo es: xij= aijIi/ Pj= demanda del comerciante de mercancía j.

Demanda: Σ(aijIi/ Pj) Oferta:Σwi

RAZONES FINANCIERAS

Economía

Cuentas Nacionales: Resultado= Ingresos – Gastos

4 cuentas: Gastos Públicos, Ingresos Nacionales y su asignación acumulada, Financiamiento de capital, y transacciones del exterior.

Flujos: cantidades por unidad de tiempo

Acervos: cantidades que se expresan sin hacer referencia a un periodo de tiempo determinado.

Índice de precios: medida del cambio de nivel de los precios de un año a otro (en la contabilidad del PIB se tiene un índice que es el deflector del PIB)

Deflector del PIB = (PIB a precios corrientes / PIB precios del año base)*100

2 tipos de índices:

El deflector del PIB es de Pasche.

Flujo Circular del Ingreso: Economías domesticas (factores de producción, consumistas) empresas, sector publico, agentes económicos del resto del mundo.

PIB (mide solo lo que se hace en el país).
PNB (mide vida de uso de origen nacional)

PIB = Producción bruta – Consumo Intermedio.

PIB=VPB-CI

VPB es el valor de la producción bruta
CI es el consumo intermedio

Cuentas Nacionales Oferta (ingreso)

PIB a costos de mercado PIBpm es la remuneración a asalariados, excedentes de explotación (utilidades) depreciación del capital fijo, impuestos indirectos y subsidios.

PIBpm =Costo de Factores+Impuestos Indirectos-Subsidios
PIBpm= Rem asalariados + Exc de Exportaciones+Depreciacion+Imp indirectos-Subsid.
PIBcf= Rem asalariados + Ex exportacion= Valor agregado.

Cuentas Nacionales Demanda(Gasto)

PIBpm= Consumo(C)+Gastos(G)+Inversion Fija(I)+Inversion Inventarios(INV) +Exportaciones(X)-Importaciones (MX)

Si es a precios de mercado Pm entonces se toman tambien los gastos de factores (-Inversion indirecta+subsidios)

Interno entonces es Nacional entonces se toma en cuenta tf (transferencias foraneas)
Bruto, entonces se toma el neto restando la depreciación.

PINpm=C+G+I+INV+X-M

OA(Oferta agregada) =PIN+M
DA(Demanda agregada)= C+G+I+INV+X

OA=DA

PIBcf-D=PINcf


Ingreso Nacional= Consumo Privado+Consumo Guvernamental+Ahorro Privado+Ahorro Guvernamental

IN= C+A+ID-Tr

Cuenta corriente de la balanza de Pagos

Incluye todas las transacciones por compra y venta de mercancía y servicios y pagos por uso de factores de producción domiciliados en el resto del mundo.

Ingresos
Exportaciones de Mercancía
Ing x transacciones fronterizas
Servicios por transformación (maquila)

Egresos
Importación de Mercancías
Intereses pagados
Transferencias fronterizas
Utilidades y pagos a otros factores de la producción
Transporte fletes y servicios

Hay déficit si E > I

PIB =ΣPQ (ambos en el año i) PIB real=ΣPaño anterior Qaño en curso

Deflector PIB= (PIB/ PIB real) *100
PIB real= PIB/Deflector del PIB

Cambio de base Indice de precios tiene un año base en el cual el valor del indice es 100, para cambiar el año base, ese se hace 100 y el resto de los valores anuales se divide entre el valor que originalmente tenia ese año.

Tipo de Cambio real
Relación entre bienes de un país a otro.

P=350 en país A
P’ =42 en país B

Entonces el TCR=CP’/P C=Cambio

Paridad en el poder de compra este solo sucede si y solo si TCR =1

A Mayor tasa de interés, mayor el tipo de cambio mayor el déficit
Mayor tipo de cambio menor las exportaciones netas.

Depreciación > exportaciones <> importaciones

Crecimiento Porcentual: (VF-VI)/VI
Donde VF es la variable final, VI es la variable inicial

Variables Reales y Nominales

VN variable nominal; traen el incremento en precio.
VR variable real: Indican el verdadero crecimiento del valor
P precio

VR=VN/P

Balanza de Pagos

Bp= CC+CK+EO+ARI

CC cuentas corrientes
CK cuentas de capitales
EO errores y omisiones
ARI variación de reservas internacionales.

Cuentas corrientes: M-X+-tf (export-import+-transf fronterizas)

Balanza de comercio o balanza comercial BC=M-X

Cuenta de capitales CK=IED+IB

Donde IED es la inversión extranjera directa y IB es la inversión bursátil(o de portafolio)

Inversión fija Neta IEN=I-Dep

Inversión menos depreciación

Salarios Nominales y Reales Wr=W/P=Pa; donde

Pa poder adquisitivo
Wr salario real
P precio
W salario nominal

Ecuación Macroeconómica Fundamental

I+Inv-(A+Dep) = (T-G)+( M-X+-Tf)

Recaudación

T=ID+II-Sub-Tg

ID impuestos directos, Tg transferencias gubernamentales, II impuestos indirectos S subsidios.

Ingreso Nacional: PIN cf+ tg= PNNcf

Ingreso Personal: IP=PNNcf+tg = IN – tg

Ingreso Personal Disponible: IDP=IP-ID

Restringiendo la oferta monetaria aumentan los intereses disminuye la inversión, disminuye el PIB y da la inflación.

La oferta y demanda del dinero determinan tipos de cambio en el mercado.

Velocidad dinero es la velocidad que cambia de manos el dinero o en la que circula el dinero en la economia.

V=PIBNOMINAL / M = PQ/M donde M es la cantidad de dinero.

Teoría Cuantitativa velocidad es estable solo cambia de individuo por patrones de gasto o maneras de pago.

Velocidad P=MV/Q=VQ/M=kM donde k es una constante.

Por lo tanto el nivel de precios varía proporcionalmente a la oferta monetaria
Agregados Monetarios Indicadores cuantitativos de la oferta monetaria.

Interés: Pago por el uso del dinero y puede ser:

Nominal: Rendimiento por cada unidad
Real: Cantidad bienes que obtendremos mañana por sacrificar los de hoy r=i-Π

Demanda de Dinero El dinero no se desea por si mismo, costo oportunidad del dinero por nuestras necesidades de método de cambio.

Ajuste Macroeconómico en una economía abierta

Mercado de fondos Prestables

S oferta I+IEN demanda
Ambos determinan la tasa de interés real y las cantidades de equilibrio.

Mercado de divisas

Pesos para transacciones en el exterior.

IEN oferta NX la demanda
Ambos determinan el tipo de cambio real y las cantidades de equilibrio en divisas.

Mercado de dinero
Ms y Md Precios P+tipo de cambio real=e tipo de cambio nominal.

Mercado de Fondos Prestables

Ahorro Privado: Sp

Aumenta la tasa de interés aumenta el ahorro privado
Aumenta el déficit, disminuye el ahorro

Ahorro Publico: SG=T-G=-D
Ahorro Nacional: S=Sp+SG
Inversión Interior: I=II-γr

A mayor tasa de interés, menor la demanda por fondos prestables.

Inversión exterior neta: IEN=I^e-θr

Compra de activos que un país hace al exterior y los activos que el exterior adquiere del país.

Inversion total: I+IEN-( γ+θ)r

Equilibrio de mercado: S=I+IEN

Si aumenta la inversión aumenta la tasa de interés.

Aumenta el déficit, aumenta la tasa de interés, y cae el ahorro público pero sube el privado.

Mercado de divisas

La oferta de pesos va a ser igual a la inversión extranjera (IEN) evaluada a la tasa de interés de equilibrio. IEN(r)=I^E-θr

La demanda de pesos va a ser NX =X-M

Los extranjeros demandan pesos para comprar bienes nacionales (exportaciones)
NX=X-M=¨NX-λq

Donde q es el tipo de cambio real.

Equilibrio=Qs=Qd
NX=IEN

El tipo de cambio real de equilibrio

Entonces si aumenta la demanda, aumenta el tipo de cambio, si aumenta la oferta cae el tipo de cambio real.

Cuando sube la tasa de interés, aumenta el tipo de cambio.
Aumenta el déficit, aumenta el tipo de cambio real.

Si hay fuga de capital; entonces en la grafica anterior solo hay una oferta y dos demandas, en el caso de IoNXo entonces se limitan las importaciones, entonces aumenta el tipo de cambio real y existe el mismo déficit comercial.

Por lo tanto la política comercial no sirve para reducir el déficit.

OA(oferta agregada) y DA(demanda agregada)

Largo Plazo: Donde todos los mercados se equilibran y se produce el nivel de pleno empleo.
Corto Plazo: Donde mercados de trabajo pueden no estar en equilibrio, donde salario real no iguala las cantidades de trabajo demandadas o deseadas. El desempleo puede ser mayor o menor.

CICLOS ECONOMICOS

Auge: Economía en pleno empleo
Contracción: Cuando la actividad económica, y el ingreso se reduce 2 trimestres consecutivos, y empieza a aumentar el desempleo.
Recesion: más de 2 trimestres tasa negativa del crecimiento del PIB
Depresión: si la recesion es muy significativa.
Recuperación: vuelve a incrementar la tasa
Expansión: se recupera por 2 o mas trimestres

TIPOS DE DESEMPLEO

Fraccional: indica que pasan de un trabajo a otro y por un lapso no están empleados.
Estacional: Depende del ciclo de la industria (ej agricultura) ; es transitorio
Estructurales: Es involuntario, no baja calificación, o no encuentran trabajo, no se espera que sea transitorio.
Cíclico: tiene que ver con la macroeconomía, ejemplo, en recesion las compañías cortan personal.
Pleno Empleo: cuando el desempleo total de la macroeconomía o el cíclico es 0. Solo hay desempleo natural.

Desempleo Micro=TASA DE DESEMPLEO NATURAL

Salario mínimo es una garantía de que los trabajadores no van a ser explotados y puedan tener consumo.

Sindicatos (carteles) Se juntan diferentes entes y venden producto. Ej monopolio, competencia monopólica, oligopolio. (Esto es por el lado de la oferta)

Esto crea 2 tipos de trabajadores:
Los afiliados y no afiliados (insiders y outsiders)
Los que se benefician son los insiders del aumento del sueldo.

Cuando hay impuestos al trabajo

Si los salarios bajan: entonces: trabajo menos, trabajo mas, o trabajo igual.

Si EI> ES oferta con pendiente negativa

I=w(H-R)+I^nl

Donde H es el tiempo, R es descanso, I^nl es el ingreso no laboral; w es el salario (wage)

Bienes

Perfectos sustitutos, TMS todos los puntos (no hay preferencia) U(x,y) =a1x1+a2x2
Sustitutos: max consumo entonces son especializados.
Y=I/Px X=I/Px
TMgS>Px/Py x>0 son especializados en x ; si y>0 es especializado en y


Perfectos complementos, no existe TMS U(x,y) =minU(a1x1,a2x2)

Cruzada:

Exy<0 e="(ΔXi/">0 sustitutos
Exy=0 independientes

Ingreso

EI<0>1 superior dx/dI
EI=0 independiente

Pendiente de Curva Indif son Preferencias

Utilidad Marginal de un bien: U(x1,x2,…,xn) UMgxi=du/dxi

UMx1/UMx2= ( du/dx1) / (du/dx2) = TMgS

Px/Py = TMgS

dλ/dx; dλ/dy; dλ/dλ despejando λ de 1 y 2 tenemos que:

((du/dx) / Px) = ((du/dx) / Py)

Donde si la derivada con respecto a x es mayor a la de y prefiero el bien x

Eficiencia del consumidor

UMgx/Px = UMgy/ Py no tengo preferencias entonces, estoy maximizando.

A mayor precio, menor ingreso real, menor cantidad, efecto cambio de ingreso.
Mayor precio, mejores bienes sustitutos, efecto substitutos.


Hicks, Curva de demanda, ingreso real constante, al realizar variaciones componentes del ingreso, la curva del demanda compuesta por el ingreso. El efecto sustituto de un cambio de precios, mas variaciones en el ingreso.

Slosky mide solo el efecto de diferencial es de precio. Ingreso constante, compra lo mismo para tener lo mismo.

Teoría de bienestar

Mercado establece los precios, equilibrios competitivos, la asignación de núcleo es determinado por restricción presupuestal.
Mano invisible (A.Smith) la economía asigna automáticamente los recursos de manera eficiente sin intervención del estado.

1ra teoría: si se comercia en mercados competitivos se rechazan intercambios beneficios y asignación de recursos de equilibrio son eficientes.

2da teoría: Toda asignación eficiente es un equilibrio competitivo para alguna asignación inicial de bienes.

Valor esperado de la utilidad: VEU= ΣPiU(xi)

La utilidad del valor esperado es: U ΣPiU(xi)

I= PxXPyY
I=x(Px+t)+Y Py
I(1-t)=PxX+PyY
t>0 impuesto, si t<0>

Bienes Normales. Mayor precio menor consumo (precio) Mayor ingreso mayor consumo (Ingreso)

Bien Neutro: Demanda inelástica. Mayor precio o menor precio, siempre consumo lo mismo.

Bien Giffen: Mayor precio mayor consumo.

Si el ingreso es constante al cambiar el precio, si este aumenta cae el consumo.
dx/dPx <0>0 bien normal respecto al ingreso.

Elasticidad del precio:

Demografía

Ecuación Compensadora:
Población en el periodo t= Población inicial +Nacimientos 0-t – Defunciones 0-t +Imigrantes0-t -Emigrantes0-tCrecimiento Natural: b-m
Crecimiento Social: i-e
r se saca para el total; para la masculina y la femenina.

Fenómenos Demográficos: Natalidad, Mortalidad, Migración, Fuerza de trabajo; se estudian por eventos.( nacimientos, muertes, emigración, inmigración, entradas y salidas de actividad económica)

Eventos se clasifican en de 1ra categoría (que solo ocurren una vez como son nacimientos y defunciones) y de 2da categoría (que ocurren mas de una vez como migración.

Elementos básicos de la demografía son:

Fuentes de información (censos, estadísticas de población, estadísticas vitales, encuestas demográficas)

Tasas demográficas: Se utilizan cuando se desea conocer el porcentaje de variación anual de una población entre 2 fechas determinadas para las cuales para las cuales se tiene información y se calcula por medio de diferentes formulas.

r es la tasa de crecimiento
Pt Población al tiempo t
Pt+h Población al tiempo t+h

Cuadro de edad desplegada
Cuadro por grupo quinquenales de edad
Pirámide poblacional (edad desplegada, y % de grupos)
Distribuir la población no especificada


Población no especificada (solo para grupos quinquenales)

Obs.: los decimales en población se cierran al entero más próximo.
Para ver que esta bien, la población total debe ser igual a la población con la distribución de los no especificados.

Razones

a) Involucran o relacionan un subconjunto de la población con otro (índice masc.)
b) Relacionan un subconjunto con el total (%grupos de edad vs. total)
c) Relacionan 2 universos ( densidad de población)


Índice de Masculinidad: indica la cantidad de hombres por cada 100 mujeres; se puede calcular de total de población y por grupo quinquenales.

IM= (# Hombres / # Mujeres) *100

nPx n es el tipo de grupo, ejemplo si es 5 significa que son grupos quinquenales
x la edad de inicio; entonces; si tenemos 5P15 es la población entre 15 y 19 años

Generación o Cohorte: Porcentaje del total de la población de un grupo de edad

nCx= (nPx/ PT)*100 donde PT es la población total.

Densidad de población: nos da la cantidad de habitantes por km^2

DP= PT/km^2

Hay varios métodos para evaluar la calidad de la información; ya que hay 2 tipos de errores:

Cobertura (omisión o duplicación) y Declaración (mala declaración, o ignorancia (NE))

(Teoría de transición demográfica, de tener altas tasas de mortalidad y población como las disminuyo??)


Para valuar estos se utilizan varios métodos:

Métodos para valuar la Calidad de la Información

Índice de Wipple

Este índice nos permite evaluar la preferencia por los dígitos 0 y 5 en conjunto. Los datos se toman con la población desplegada por sexo (H, M) considerando desde la edad 25 hasta 62 años.

Si la información es correcta, el índice es 100

Escala de valorización del índice de Wipple:

100<=I<=105 los datos son precisos

106<=I<=110 los datos son relativamente precisos (buenos)

111<=I<=125 los datos son aproximados a la realidad

126<=I<=176 los datos son malos

I>176 los datos pésimos.

Índice de Myers

Este índice nos permite conocer las preferencias o rechazos por cada digito. Este índice parte de la idea de que la suma de la población por digito representa el 10% de la población y cualquier desviación a ese número representa una preferencia o rechazo a ese digito.

Los datos necesarios para calcular este índice son la edad desplegada por sexo de las edades 10 a 79 años.

Escala de evaluación:

Bajo 0 - 5 data confiable
Intermedio 5.1 - 15 data aproximada
Alta 15.1 - 30 data mala
Muy alta 30.1+ data pésima

Índice de Naciones Unidas

Este índice permite conocer la calidad de la información por edad y por sexo a partir del desarrollo de 3 procedimientos.

1.- Calculo de índices de regularidad de sexo
2.- Calculo de los cocientes x edad y sus diferencias
3.- Calculo del índice resumen o índice de Naciones Unidas.

Se toma la información de 18 grupos y no del último ya que los mayores de 85 años hay más mujeres y la información se sesga.

La información que se utiliza es por grupos quinquenales y por sexo.
Escala de evaluación:

+ de 40 información es deficiente
Entre 20 y 40 la información es intermedia
Menos de 20 la información es satisfactoria.

Métodos de Corrección de la información

Promedios Móviles: se utilizan para corregir información por edad desplegada. Suponemos que la mala declaración de edad esta ubicada en una edad anterior o una edad superior.

Px-1,Px,Px+1 = Promedios Móviles Ponderados: Se utilizan para corregir la data por grupos quinquenales de edad.(conocido también como 1/16)

0-4 5P0
5-9 5P5
10-14 5P10
15-19 5P15
20-24 5P20
.
.
85+

Lexis

Diagrama de movimiento que expresa evolución de una familia demográfica en el tiempo.
Se refleja el tiempo en tiempo calendario y el tiempo transcurrido de un evento especifico en particular.

nLx edad acumulada (Líneas verticales), l0 población a edad 0 ( líneas horizontales) ,
Línea de vida

An. Transversal , es una cohorte en el tiempo
An Longitudinales sigue a la población a través del tiempo, sigue a uno desde su nacimiento.

Cohorte; Conjunto de personas que tienen un mismo evento origen en común.
Generación: Cohorte que tiene en común el evento nacimiento.
Promoción: Cohorte que tiene en común origen de nupcialidad.

Clasificación de los datos

Efectivos o stocks, son las referencias temporales a un instante (cantidad medido en horizontal)
Flujos, referidos a un periodo de tiempo (depende medido eje vertical)

f factor de separación, que es el % de la población que muere ese año proveniente de la generación anterior.

Mortalidad infantil: Defunciones de menores de 1 año / Nacimientos

Teoría de la transición Demográfica

Es el paso de una gen de tradicional a moderna, e implica 3 etapas.
1ra, transición insipiente (comienza), 2da transición moderada, y 3ra, transición avanzada.

Los conceptos que interfieren son: Mortalidad, Fecundidad, esperanza de vida, estructura de la población.

Tradicional: tienen muchos hijos, matrimonios a edad temprana, no hay métodos anticonceptivos.
1ra Incipiente: Altas tasas de fecundidad, y mortalidad, baja esperanza de vida, población joven.
2da Moderada: Alta tasa de fecundidad, desciende la mortalidad, aumenta esperanza de vida, población joven.
3ra avanzada: baja tasa de fecundidad, y mortalidad, esperanza de vida elevada, población tiende a envejecer.

Población Media: es el promedio aritmético de la población inicial y la población final del periodo de estudio. Y es la que se utiliza en el cálculo de las tasas.

Remplazo: que una mujer tenga al menos una hija. (en fecundidad)

Tasa bruta de Mortalidad (TBM) es el número promedio de muertes por cada mil habitantes.

TBM= (Defunciones / Población Media total)*1000

Tasa especifica de Mortalidad (nMx)= nDx/ n^Px

Donde n^Px es la población media edad x grupo quinquenal n.

Tasa de Mortalidad Infantil (TMI) es Defunciones de menores de 1 año / Nacimientos

APV años personas vividos (tiempos expuestos al riesgo)

La población media es APV suponiendo que las defunciones se distribuyen uniformemente.
Muerte: Suspensión total de signos vitales
Mortalidad: estudio de muertes de la población.

Fecundidad: es multiple pues se puede tener mas de un hijo.

TBF tasa bruta de fecundidad: (N/P)*1000 nacimientos entre la población media

Natalidad hace que aumente la población, y hay 2 tipos de nacimientos (vivos o muertos)

Tasa son: Efectivas (Solo considera nacimientos vivos) y generales que considera ambos.

Crecimiento Natural: b-m Nacimientos de vivos – nacimientos de muertos.

Crecimiento total: crecimiento natural +- crecimientos sociales.

Tasa de masculinidad al nacimiento.

Tasa de fecundidad general: (TFG) (Nacimientos / Población de Mujeres entre 15 y 49 años)*1000

Fecundabilidad: Probabilidad de embarazo en el estado menstrual
Fecundidad: Tener un hijo.

Tasa especifica de Natalidad: nNx/nPFx

Factores extrínsecos son los cambios a los factores que pueden afectar los valores de las tasas pero que no afectan los niveles de fecundidad.

Proporción de mujeres en edad Fértil Pobl. muj 15-49 / Población total de Mujeres

Estructura de la fecundidad por edad: nFx/ ΣnFx x de 15 a 49

Factores intrínsecos: cuando los cambios de los factores producen cambios en el nivel de la fecundidad. (Ej proporciones de mujeres que se casan, edad al casarse o unirse) solteros, viudos, etc.

Tasa Global de fecundidad, es el numero de hijos que tuvieran una mujer en periodo de fertilidad siempre y cuando no se mueran.(Promedio de hijos por mujer)

Tasa Bruta de Reproducción: es el número de hijas que tuvo una mujer dentro de su periodo fértil siempre y cuando no mueran.

Tasa neta de Reproducción: (tiene que se >1) numero de hijos que tuvo una mujer dentro de su periodo de fertilidad siempre y cuando este expuesta al riesgo de muerte.